Joel Nava LaraA inicios del siglo XX, Henry Poincare, uno de los matemáticos más importantes y famosos de ese momento, se refirió a los fractales como “una galería de monstruos matemáticos”, bajo la idea de que estos comenzaron a construirse como una curiosidad matemática y que tal vez no tendrían aplicaciones. Para sorpresa de algunos el concepto de fractal comenzó a tener relevancia en el estudio de algunos comportamientos de la naturaleza y en las ciencias de la computación.
Los fractales surgen del estudio de algunas transformaciones geométricas sobre segmentos, triángulos, cuadrados y otras figuras simples, de manera que se aplican una infinidad de veces sobre el mismo objeto o partes de él. Tomemos por ejemplo un segmento de recta, al cual dividimos en tres partes iguales y quitamos la del medio, sobre esta construimos ahora dos segmentos como el que acabamos de quitar pero que forman un pico.
Si volvemos a realizar esta transformación, ahora sobre cada uno de los segmentos de la figura anterior, obtenemos figuras más pequeñas pero parecidas a la primera. Al aplicarlo una y otra vez, de manera indefinida, se obtiene el fractal.
Podemos acercarnos a la imagen y darnos cuenta de que nunca termina de parecerse a sí misma, es decir, es autosimilar. Existen otras formas de construir otros fractales de maneras parecidas. La que acabamos de describir es llamada curva de Koch, en honor al matemático que la construyó. De igual manera similar se puede construir el copo de nieve de Koch, donde a cada lado de un triángulo equilátero se le aplica dicha transformación.
Otro fractal muy simple es el Triángulo de Sierpinski. Partiendo nuevamente de un triángulo equilátero se dibuja uno más pequeño dentro de él, uniendo los puntos medios de los segmentos. Si se realiza esta transformación ahora con cada uno de los triángulos externos y así sucesivamente.
Estas figuras, junto con otras tantas, tienen longitudes infinitas, por ejemplo, la curva de Koch, cada que aplicamos la transformación aumenta su longitud en cuatro tercios, comenzando con un segmento de 1m, después de diez pasos tenemos una figura de casi 18 metros de largo y a los cien pasos tenemos una longitud con trece dígitos, miles de billones. Esta propiedad de poder tener grandes longitudes en un espacio limitado, junto con la autosimilaridad, se utilizan en computación para comprimir información o “empaquetarla”.
Existen otros fractales que no solo se asemejan a copos de nieve, si no a plantas y esto se utiliza como explicación de la forma que van tomando las mismas, por ejemplo, algunos helechos o árboles. También algunas espirales se pueden considerar como fractales. Esta es también una de las aplicaciones de los fractales, la construcción de imágenes hechas por computadora de manera iterada, sin necesidad de dibujar por completo un piso o árbol, si no definiendo a dicho objeto como un fractal, dando la instrucción a la computadora para que rellene los espacios con copias de la figura original a diferentes escalas. En algunos juegos de video de la década pasada aun podemos observar dichas imágenes construidas mediante fractales, mientras que en los juegos actuales el refinamiento de las imágenes hace casi imperceptible esta aplicación.
Podemos pensar en el universo como un fractal, donde en una galaxia existen millones de estrellas y en el universo hay conjuntos (clusters) de galaxias, que se agrupan entre sí. En las imágenes del campo profundo de los telescopios Hubble y James Webb podemos hacer zoom y darnos cuenta que lo que pensábamos que podían ser estrellas en realidad son galaxias tan lejanas que se ven muy pequeñas, es decir, al hacer zoom vemos que siguen apareciendo imágenes de estrellas y galaxias nuevamente, como en una imagen fractal.
¡Estamos rodeados por estas figuras matemáticas!