Explorando otras geometrías

La geometría que todos conocemos, la que se enseña en la educación básica, proviene de una época hace más de dos mil años, donde el pensamiento generalizado era que la Tierra era plana. Las evidencias de una Tierra plana eran incuestionables, la vista así lo manifestaba, por lo cual la geometría Euclidiana consideraba al espacio donde se desarrolla la vida como algo plano, sin curvaturas ni cambios abruptos. ¡Pero la Tierra es redonda!

Como estudiante de la carrera de Técnico en Construcción, una de las materias que más me gusto fue la Planimetría, la medición de las longitudes, ángulos y área de un terreno, de tal manera que sobre él podamos diseñar una construcción, ya sea una casa o incluso una carretera. Mi profesor de dicha materia era un topógrafo consumado, había participado en la construcción de carreteras nuevas en todo el país y uno de los comentarios que mejor recuerdo de esa etapa es “a partir de los 3 kilómetros ya debemos considerar la curvatura de la Tierra”, es decir, es un hecho que la Tierra es curva, en caso contrario no podríamos construir puentes, carreteras o autopistas de la magnitud que conocemos en la actualidad. 

Posteriormente, como estudiante de la carrera de Físico Matemático en el IPN, uno aprende que dentro de esos 3km la geometría plana sigue siendo válida y que de hecho en casi cualquier superficie curva existe algún radio alrededor de un punto dentro del cual sigue siendo válida dicha geometría, es decir, vale la pena seguirla estudiando después de tantos siglos. Pero no es la única geometría.

La geometría esférica, aquella que se desarrolla sobre la superficie de una esfera, tiene como característica que un triángulo tiene una suma de ángulos internos mayor a 180 grados, en la geometría plana es exactamente 180, mientras que en otro tipo de geometría construida sobre una superficie hiperbólica, como aquellas de las torres de enfriamiento de algunas centrales eléctricas, los triángulos tienen ángulos internos que suman menos de 180 grados. Tales peculiaridades fueron estudiadas con mayor profundidad por varios matemáticos desde el siglo XII al XVIII, muchos de ellos árabes. 

En el siglo XIX Gauss, Bolay, Lovachevsky y otros matemáticos construyeron las bases formales para el desarrollo de estas otras geometrías, llamadas desde entonces No Euclidianas. Georg Bernhard Riemann, un estudiante de Gauss, llevó al máximo el estudio de estas geometrías en su disertación doctoral, al grado de que a una sección de ellas se les llama Geometrías Riemanianas. Estas conservan su curvatura la superficie o secciones de ella y con esto se demuestra que en regiones más pequeñas la geometría plana sigue teniendo validez. 

En 1915, Albert Einstein muestra al mundo que el espacio, el universo, tiene una forma de geometría Riemaniana, mediante la deducción de su Teoría General de la Relatividad (la gravedad originada por un cuerpo curva al espacio que lo rodea) diez años después de haber publicado su Teoría Especial de la Relatividad, que revolucionó la física junto con otras publicaciones del mismo autor. Se dice que, durante estos diez años de separación entre las publicaciones, Einstein tuvo que aprender geometría Riemaniana, sin la cual su teoría no habría sido posible.

El universo está lleno de geometrías. En una región pequeña alrededor nuestro podemos pensar que estamos en un plano, mientras vivimos en una superficie casi redonda (curvatura positiva), cuando nuestro sistema solar presenta esas órbitas elípticas por que la masa del sol curva al espacio formando una superficie hiperbólica (curvatura negativa).

Además de estas existen otras geometrías, donde la dimensión del espacio resulta ser incluso una fracción, pero de ellas hablaremos en otro artículo.