Dos más dos es cuatro ¿o no?

En los primeros días como estudiante de la Licenciatura en Física y Matemáticas, en la ESFM-IPN, en la clase de Cálculo 1 el profesor preguntó cómo se desarrollaba un binomio al cuadrado, a lo que un compañero respondió que era la suma del cuadrado del primer término y el cuadrado del segundo. Quienes recordábamos nuestras clases de nivel medio superior, junto con el profesor, de inmediato nos dimos cuenta que faltaba el doble del primero por el segundo, pero al corregir a dicho compañero él defendió su postura, argumentando que lo había visto en un libro y que se lo llevaría al profesor la siguiente clase. Esto no ocurrió y el suceso se quedó solo como anécdota, pero resulta que en ciertos conjuntos de números el compañero tenía razón, solo que faltaron otros dos años de estudios para llegar a la materia donde veríamos dichos conjuntos.

Las matemáticas llegan a ser muy extrañas, al grado de poner en duda que dos más dos es cuatro, algo que incluso es utilizado como un argumento de analogía lógica, “tan claro como que dos más dos es cuatro” decimos a veces. Este tipo de matemáticas se encuentran en la teoría de números y los campos finitos, donde no siempre se cumple la suma antes mencionada, a veces dos más dos es cero y en otras también puede ser uno, en la llamada Aritmética Modular, donde los números enteros conocidos se trabajan mediante su residuo al dividir entre otro entero diferente de cero, uno o menos uno. Por ejemplo, en el caso de la división entre dos o entre cuatro, el residuo de 2+2=4 es cero, por lo que se asocia precisamente a este número, mientras que, si la división se realiza entre tres, entonces 2+2=4 tiene residuo uno y es a este número al que lo asociamos ahora.

La aritmética modular tiene aplicaciones en computación, donde se realizan operaciones de este tipo muy frecuentemente, por ejemplo, para ordenar de manera cíclica un conjunto de objetos. En criptografía, varios criptosistemas utilizan estos números para codificar mensajes y ocultarlos de algún posible espía, uno de los criptosistemas más famosos es el RSA y se fundamenta casi totalmente en la aritmética modular, utilizando números tan grandes que resulta difícil imaginarlos, actualmente alrededor del 1 seguido de ¡trescientos ceros!

En el caso de mi compañero de la carrera, resulta que existen campos en los cuales multiplicar por dos anula al producto, estos son llamados campos de característica 2, con una cantidad de elementos potencia de dos. El ejemplo más pequeño es el del conjunto solo del 0 y 1, en el cual ¡ 1+1=0 ! Estos conjuntos, llamados campos finitos, son utilizados en teoría de códigos y criptografía, con aplicaciones muy amplias en la computación, teoría de la información y otras áreas donde se necesite proteger, transmitir, almacenar o comprimir información.

La aritmética modular también tiene otra aplicación, pero en este caso se trata de un tema religioso que vale la pena abordar en otro artículo, se trata de la Cábala.